Combinaciones y Permutaciones
Calcula el número de formas de elegir o ordenar elementos con fórmulas y pasos detallados.
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¿Qué son las combinaciones y permutaciones?
La combinatoria estudia el número de formas de seleccionar u ordenar elementos de un conjunto. La diferencia clave entre sus tipos está en si el orden importa y si se permite repetir elementos.
Combinaciones sin repetición — C(n,k)
C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!)Formas de elegir k elementos de n sin importar el orden ni repetir. Ejemplo: manos de póker, equipos deportivos.
Combinaciones con repetición — CR(n,k)
CR(n,k) = (n+k−1)! / (k! · (n−1)!)Igual que las combinaciones pero un mismo elemento puede aparecer varias veces. Ejemplo: elegir 3 sabores de helado de una carta de 5.
Permutaciones sin repetición — P(n)
P(n) = n!Ordenaciones de todos los n elementos sin repetir ninguno. Ejemplo: anagramas de una palabra sin letras repetidas.
Permutaciones con repetición — PR(n; n₁,n₂,…)
PR = n! / (n₁! · n₂! · … · nₖ!)Ordenaciones de n elementos cuando algunos se repiten (n₁, n₂… veces). Ejemplo: anagramas de "MATEMATICA".
Variaciones sin repetición — V(n,k)
V(n,k) = n! / (n−k)!Subconjuntos ordenados de k elementos tomados de n sin repetición. Ejemplo: podio de 3 en una carrera de 10.
Variaciones con repetición — VR(n,k)
VR(n,k) = nᵏIgual que las variaciones pero permitiendo repetir. Ejemplo: combinaciones de una cerradura de k dígitos con n posibles valores.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre combinación y permutación?
En una permutación el orden importa: elegir (A, B, C) es distinto de elegir (C, A, B). En una combinación el orden no importa: (A, B, C) y (C, A, B) son el mismo grupo. Por eso P(n,k) ≥ V(n,k) ≥ C(n,k) para los mismos valores.
¿Qué diferencia hay entre variación y permutación?
Una permutación usa todos los n elementos del conjunto. Una variación selecciona y ordena solo k de los n elementos (k ≤ n). Cuando k = n, variación y permutación sin repetición dan el mismo resultado: n!
¿Qué significa 'con repetición'?
Con repetición significa que un mismo elemento puede seleccionarse más de una vez. Sin repetición cada elemento solo puede aparecer una vez por selección. Por ejemplo, lanzar un dado dos veces permite obtener el mismo valor dos veces (con repetición); repartir cartas de una baraja no (sin repetición).
¿Qué es el factorial y por qué aparece en estas fórmulas?
El factorial de n (n!) es el producto de todos los enteros desde 1 hasta n: n! = n × (n−1) × … × 2 × 1. Aparece porque contar ordenaciones de n objetos equivale a calcular n!, y las combinaciones y variaciones se obtienen dividiendo esas ordenaciones entre las que se consideran equivalentes.
¿Para qué sirve conocer el número de combinaciones?
Tiene aplicaciones en probabilidad (calcular la probabilidad de un suceso), estadística (muestras), criptografía (seguridad de contraseñas), juegos de azar (lotería, póker), genética (combinaciones alélicas), diseño de experimentos y cualquier problema donde haya que contar posibilidades sin enumerarlas una a una.